統計検定準1級のサンプル問題（本番形式・解説付き）

解説

I は正しい記述です。P(A) > 0 かつ P(B) > 0 なので、排反なら P(A∩B) = 0 に対して P(A)P(B) = 0.15 > 0 となり、独立になれません。 II は正しい記述です。独立なら、補事象に替えた A と Bᶜ の組も独立です。 III は誤った記述です。独立なら P(A∩B) = P(A)P(B) = 0.3 × 0.5 = 0.15 で、0 になるのは排反のときです。 よって「I 正・II 正・III 誤」です。 「I 正・II 誤・III 正」は、II を誤り、III を正しいとしています。独立なら、補事象に替えた A と Bᶜ の組も独立です。独立なら P(A∩B) = P(A)P(B) = 0.3 × 0.5 = 0.15 で、0 になるのは排反のときです。 「I 誤・II 正・III 誤」は、I を誤りとしています。P(A) > 0 かつ P(B) > 0 なので、排反なら P(A∩B) = 0 に対して P(A)P(B) = 0.15 > 0 となり、独立になれません。 「I 正・II 正・III 正」は、III を正しいとしています。独立なら P(A∩B) = P(A)P(B) = 0.3 × 0.5 = 0.15 で、0 になるのは排反のときです。 「I 誤・II 正・III 正」は、I を誤り、III を正しいとしています。P(A) > 0 かつ P(B) > 0 なので、排反なら P(A∩B) = 0 に対して P(A)P(B) = 0.15 > 0 となり、独立になれません。独立なら P(A∩B) = P(A)P(B) = 0.3 × 0.5 = 0.15 で、0 になるのは排反のときです。

解説

S = 4 を与えると、4 個の成功は 10 個の位置に同様に確からしく入るので、X₁ = 1 になる確率は 4/10 = 0.4 です。E[X₁ | S] = S/n = x̄ となり、不偏のまま分散が p(1 − p) から p(1 − p)/n に下がります(ラオ・ブラックウェルの定理)。 1.00 は X₁ が成功(1)のときの値で、条件付き期待値は確率 0.4 の重みを付けた平均です。 0.50 は成功の割合を 4/10 でなく 1/2 と考えた値で、データの成功回数が反映されていません。 4.00 は成功回数 S そのもので、位置の数 10 で割っていません。 0.04 は 4/100 のように n を 2 乗した値で、割る数が違っています。

解説

n = ((1.960 + 0.842) × 15/6)² = (2.802 × 2.5)² = 7.005² = 49.07 で、切り上げて 50 です。 「39」は誤りです。片側検定の臨界値 1.645 を使った値です。問題は両側検定なので 1.960 を使います。 「25」は誤りです。検出力の項 z(β) を入れず、(1.960 × σ/δ)² だけで求めた 24.01 の切り上げです。z(α/2) と z(β) の和を使います。 「66」は誤りです。検出力 90% の z（1.282）を使った値です。目標は 80% なので 0.842 を使います。 「49」は誤りです。計算値は約 49.07 で、切り捨てると必要な検出力に届きません。サンプルサイズは必ず切り上げます。

解説

ハット行列の対角成分の和(トレース)は p + 1 = 3 です。h66 = 3 − (0.50 + 0.35 + 0.20 + 0.55 + 0.60) = 0.8 になります。残差の分散は σ²(1 − h_ii) なので、5×(1 − 0.8) = 1.0 です。 「4.0」：h66 = 0.8 を 1 − h66 の代わりにそのまま掛けた値です。残差の分散は σ²(1 − h_ii) です。 「5.0」：誤差分散 σ̂² のままです。残差の分散は点ごとに違い、てこ比 h_ii が大きい点ほど小さくなります。 「0.2」：1 − h66 だけを答えた値で、σ̂² = 5 を掛けていません。 「2.5」：h66 を 0.5 としたような値で、対角成分の和が p + 1 = 3 になる条件を使っていません。

解説

対角成分が等しい 2×2 の行列 [[a, b], [b, a]] の固有値は a + b と a − b です。5 + 3 = 8 と 5 − 3 = 2 で、和は対角和 10 と一致します。最大は 8 です。